Родился и вырос в Омске. В 1977 году окончил Омский политехнический институт по специальности «Инженер-механик холодильных и компрессорных машин и установок». После окончания вуза уехал в Находку (Приморский край), где 3 года проработал машинистом и механиком рефрижераторной установки базы активного морского рыболовства. В 1980 году вернулся в родной город, где до 1983 года работал мастером, а затем главным инженером треста «Росторгмонтаж» (строительство объектов торговли).

В пищевую промышленность пришел в 28 лет (1984 год), заняв должность главного специалиста Омского областного объединения мясной промышленности. Следующие 9 лет рос по карьере внутри этой организации, став сначала главным инженером, а затем и заместителем генерального директора.  

В 1994 году перешел на работу в акционерное общество «Мясокомбинат Омский», которое за год до этого вошло в состав холдинга «Омский бекон». Стартовав главным инженером мясокомбината, уже через год его возглавил.

Проработав директором мясокомбината почти 5 лет, в 2000 году Кивич перешел на аналогичную должность в параллельной структуре холдинга, возглавив АО «Омский бекон», в ведении которого был свинооткормочный комплекс. Спустя 2 года он наконец возглавил всю группу предприятий. В 1999 году Александр Кивич также был избран президентом ассоциации предприятий пищевой и перерабатывающей промышленности Омской области, которую возглавлял до 2007 года.

Фактически к моменту прихода Кивича в руководство «Омским беконом» холдинг уже являлся лидером мясоперерабатывающей отрасли в России с рентабельностью в 42% по производству свинины и с крупнейшим в мире поголовьем свиней на одном предприятии (285 тыс. голов). На конец 2002 года компания представляла собой следующую структуру:

• Группа предприятий «Омский бекон».
  • Управляющая компания «Омский бекон» со свинооткормочным комплексом в 280 тыс. голов.
  • Птицефабрика «Сибирская» (1,15 млн голов).
  • Мясокомбинат «Омский» (мощность переработки 140 т в сутки).
  • Лузинский комбикормовый завод (производительность 630 т в сутки).
  • Зернопроизводящие хозяйства (посевные площади 62,3 тыс. га).
  • Молочные фермы (4,1 тыс. голов.
  • Фирменная розничная торговая сеть (12 магазинов).

В 2012 году Александр Кивич также был избран депутатом Омского городского совета, где возглавил финансово-бюджетную комиссию. В период массовой бесконкурсной распродажи недвижимости по 306-му решению горсовета ему удалось выкупить от лица холдинга 4 помещения, арендуемых лузинскими магазинами. Этот факт вызвал резкую критику мэра Евгения Белова, обвинившего народных избранников в стремлении распродать недвижимость кулуарно, не считаясь с интересами бюджета и омичей.
В том же году Кивич стал членом свежесозданной организации РАПС — Российского аграрно-продовольственного союза, который газета «Ведомости» назвала лоббистской организацией для пришедших в аграрный сектор олигархов. В 2003 году Кивич озвучил инициативу о необходимости государственного регулирования рынка фуражного зерна. Происходила такая риторика на фоне резкого роста цен на зерно в стране, в результате чего прибыль «Омского бекона» за год упала почти вдвое.
Однако уже в апреле 2004 года Кивич сообщил, что «Омский бекон» вышел на уровень западных фирм, сравнявшись по себестоимости продукции с аналогичными предприятиями в Голландии: высоким западным технологиям омичи смогли противопоставить дешевую рабочую силу и сравнительно недорогие энергоресурсы.
Награды:

На протяжении трех лет входит в «ТОП-100» рейтинга «1000 самых профессиональных менеджеров России».

В 2002 году удостоен национальной премии Петра Великого за личный вклад в развитие теории и практики управления экономикой, социальной сферой предприятия.

В 2004 году за многолетний и безупречный труд в агропромышленном комплексе России ему вручена награда Министерства сельского хозяйства РФ - Золотая медаль «За вклад в развитие агропромышленного комплекса России».

В 2006 году за услуги в области пищевой индустрии и многолетний добросовестный труд Указом президента РФ присвоено почетное звание "Почетный работник пищевой индустрии Российской Федерации".